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基礎科目・力学

ばねと棒のエネルギー

高校

4問H25・H30・R1・R3

ばねや棒にたまるエネルギーを、「自然長からの伸び」と「(1/2)×力×伸び」で求める問題です。

よく出る形

  • 荷重 P を受ける棒のひずみエネルギー
  • つり下げたばねが単振動するとき，いちばん下の位置でばねにたまるエネルギー
  • 重力の下でばねにつるした質点のつり合いと，全ポテンシャルエネルギー
  • ばねの問題と棒の問題が出る。値を求める形と，式の正誤を選ぶ形がある

覚えること

  • ばねのエネルギー U ＝ (1/2)kx2。x は「自然の長さ（何もつるさないとき）からの伸び」
  • つるした質点のつり合い：kx0 ＝ mg なので x0 ＝ mg/k
  • つり合いの位置は，全ポテンシャルエネルギー（ばね ＋ 重力）が最小になる位置
  • 全ポテンシャルエネルギー：自然長の位置を基準に，下向きの伸びを x とすると (1/2)kx2 − mgx。最小値は −(mg)2/(2k)
  • 棒の伸び λ ＝ Pl/(EA)，ひずみエネルギー U ＝ (1/2)Pλ ＝ P2l/(2EA)
  • 単位体積あたりでは σ2/(2E)。これに体積 Al を掛けても同じ値
  • つながった棒（段付き棒）：荷重は同じ，伸びは部分ごとに求めて足し算。U ＝ (1/2) × P × 全体の伸び
  • カスティリアノの定理：U を荷重 P で微分すると，荷重点の荷重方向の変位（棒なら伸び Pl/(EA)）になる
  • つり合いの位置まで手で支えてゆっくり下ろすと，ばねにたまるのは重力がした仕事の半分。残りは手が受け取る
1 J ＝ 1 N・m ＝ 1,000 N・mm

解き方

  • 例1：長さ l，断面積 A，ヤング率 E の棒に荷重 P。伸びは λ ＝ Pl/(EA)
  • 力は0から P まで比例して増えるので，仕事は三角形の面積 (1/2) × P × λ。U ＝ P2l/(2EA)
  • 数値例：P ＝ 4 kN，l ＝ 2000 mm，A ＝ 100 mm2，E ＝ 200 GPa ＝ 2×105 N/mm2 なら，λ ＝ 4000 × 2000 ÷ (2×105 × 100) ＝ 0.4 mm
U ＝ (1/2) × 4000 × 0.4 ＝ 800 N・mm ＝ 0.8 J
  • 例2：ばね定数 k，質量 m，振幅 a の単振動。つり合いでの伸びは mg/k
  • いちばん下ではさらに a 伸びて mg/k ＋ a。U ＝ (1/2)k(mg/k ＋ a)2
  • 段付き棒は，部分ごとに λ ＝ Pl/(EA) を出して足す。単位は N と mm にそろえる

ひっかけ

  • つり合いの位置からのずれ a だけで (1/2)ka2 としない（もともとの伸び mg/k を忘れている）
  • (1/2) を忘れて P × λ としない
  • σ2/(2E) に体積を掛け忘れない
  • 段付き棒を，平均の断面積や1つの断面積で計算しない
  • つり合いの位置を，全ポテンシャルエネルギーの最大とはしない（最小）
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想定問題：1・2・3

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