ばねと棒のエネルギー 想定問題 3
ばねや棒にたまるエネルギーに関する次の（ア）～（エ）の記述について，正しいものを○，誤っているものを×としたとき，その組合せとして最も適切なものはどれか。ただし，ばねと棒は弾性の範囲で使い，ばねの質量は考えない。
（ア）上端を固定したばね定数 k のばねに質量 m の質点をつるし，ばねの自然長からの下向きの伸びを x とする。自然長の位置を重力の位置エネルギーの基準とすると，ばねの弾性エネルギーと重力の位置エネルギーを合わせた全ポテンシャルエネルギーは (1/2)kx2 － mgx で表される。
（イ）（ア）の全ポテンシャルエネルギーは，質点がつり合う位置 x ＝ mg/k で最大となる。
（ウ）一端を固定した長さ l，断面積 A，ヤング率 E の棒の他端を，軸方向の荷重 P で引っ張る。このときのひずみエネルギー P2l/(2EA) を P で微分すると，荷重点の荷重方向の変位（棒の伸び）に等しくなる。
（エ）（ア）の質点を，自然長の位置から手で支えながらゆっくり下ろし，つり合いの位置で静止させた。このときばねにたまった弾性エネルギーは，質点が下がる間に重力がした仕事 mg × (mg/k) に等しい。
アイウエ
解説
ポイント
全ポテンシャルエネルギー，ひずみエネルギーと伸びの関係，ゆっくり下ろしたときのエネルギーの行き先を問う問題です。
考え方と解き方
つり合いの位置は，全ポテンシャルエネルギーが最小になる位置です。ひずみエネルギーを荷重で微分すると変位になります（カスティリアノの定理）。
ア：正しい。ばねのエネルギーは (1/2)kx2，重力の位置エネルギーは下がった分だけ減って −mgx。合わせて (1/2)kx2 − mgx です。
イ：誤り。(1/2)kx2 − mgx を x で微分すると kx − mg。0になるのは x ＝ mg/k。もう一度微分すると k（正）なので，そこは最大でなく最小です。
ウ：正しい。P2l/(2EA) を P で微分すると Pl/(EA) で，棒の伸びと一致します。一端が固定なので，これは荷重をかけた点の荷重方向の変位です。
エ：誤り。ばねのエネルギーは (1/2)k(mg/k)2 ＝ (mg)2/(2k)。重力がした仕事 (mg)2/k の半分だけで，残りは支えた手が受け取ります。答えは ア ○，イ ×，ウ ○，エ ×
覚えておくこと
- つり合いの位置は，全ポテンシャルエネルギー（ばね ＋ 重力）が最小になる位置（テキスト・覚えること）
- 全ポテンシャルエネルギー：自然長の位置を基準に，下向きの伸びを x とすると (1/2)kx2 − mgx。最小値は −(mg)2/(2k)（テキスト・覚えること）
- カスティリアノの定理：U を荷重 P で微分すると，荷重点の荷重方向の変位（棒なら伸び Pl/(EA)）になる（テキスト・覚えること）
- つり合いの位置まで手で支えてゆっくり下ろすと，ばねにたまるのは重力がした仕事の半分。残りは手が受け取る（テキスト・覚えること）
類似する過去問：平成30年度 基礎科目 I-3-5、令和元年度 基礎科目 I-3-5
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