ばねと棒のエネルギー 想定問題 2
一端を壁に固定した段付きの棒があり，他端に棒の軸方向の引張荷重20 kNを加えた。棒は，固定端側の長さ1,000 mm・断面積400 mm2の部分と，荷重側の長さ600 mm・断面積200 mm2の部分がつながってできており，どちらも同じ材料（ヤング率200 GPa）である。棒全体の伸びと，棒全体にたまるひずみエネルギーの組合せとして，最も適切なものはどれか。ただし，どちらの部分でも応力は断面に一様に生じ，材料は弾性の範囲にあるものとする。
棒全体の伸びひずみエネルギー
解説
ポイント
太さのちがう2つの部分がつながった棒を引っ張ったときの，全体の伸びとひずみエネルギーを求める問題です。
考え方と解き方
つながった棒では，どの部分にも同じ荷重 P が伝わります。伸びは部分ごとに λ ＝ Pl/(EA) で出して足します。
- 単位をそろえる：P ＝ 20 kN ＝ 20,000 N，E ＝ 200 GPa ＝ 2×105 N/mm2
- 固定端側の伸び：20,000 × 1,000 ÷ (2×105 × 400) ＝ 0.25 mm
- 荷重側の伸び：20,000 × 600 ÷ (2×105 × 200) ＝ 0.30 mm
- 全体の伸び：0.25 ＋ 0.30 ＝ 0.55 mm
- U ＝ (1/2) × 20,000 × 0.55 ＝ 5,500 N・mm ＝ 5.5 J。答えは ① 0.55 mm，5.5 J
ほかの選択肢
②（0.55 mm，11.0 J）：伸びは正しいですが，(1/2) を忘れて P × λ とした値です。
③（0.40 mm，4.0 J）：全長 1,600 mm を断面積 400 mm2 の1本として計算した値です。
④（0.80 mm，8.0 J）：全長を断面積 200 mm2 の1本として計算した値です。
⑤（0.53 mm，5.3 J）：2つの断面積の平均 300 mm2 を使った値です。伸びは部分ごとに求めて足します。
覚えておくこと
- 棒の伸び λ ＝ Pl/(EA)，ひずみエネルギー U ＝ (1/2)Pλ ＝ P2l/(2EA)（テキスト・覚えること）
- つながった棒（段付き棒）：荷重は同じ，伸びは部分ごとに求めて足し算。U ＝ (1/2) × P × 全体の伸び（テキスト・覚えること）
- 1 J ＝ 1 N・m ＝ 1,000 N・mm（テキスト・覚えること）
- 段付き棒を，平均の断面積や1つの断面積で計算しない（テキスト・ひっかけ）
類似する過去問：令和元年度 基礎科目 I-3-5、平成25年度 基礎科目 I-3-5
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