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基礎科目・力学

はりの曲げとたわみ

大学

3問H27・R4・R6

はりの曲げ応力は断面係数 Z、たわみは断面二次モーメント I で決まり、断面の寸法の何乗で効くかが問われます。

よく出る形

  • 等分布荷重を受ける円形断面の片持ちばりで，最大曲げ応力と最大たわみが，直径の何乗に反比例するか
  • 断面を長方形にしたら，応力は高さの何乗に反比例するか
  • 2本の片持ちばりの先端のたわみが等しくなる条件
  • どれも片持ちばりで，寸法が何乗で効くかを問う。変える寸法や条件は毎回変わる

覚えること

  • 曲げ応力 σ ＝ M/Z（M は曲げモーメント＝はりを曲げようとする働き，Z は断面係数）
  • たわみは EI に反比例（E はヤング率，I は断面二次モーメント）。応力は Z，たわみは I で決まる
  • 円形（直径 d）：I ＝ πd4/64，Z ＝ πd3/32
  • 長方形（幅 b，高さ h）：I ＝ bh3/12，Z ＝ bh2/6。h は荷重と同じ向きの寸法
  • 片持ちばりの先端のたわみ：集中荷重 P なら PL3/(3EI)，等分布荷重 w なら wL4/(8EI)
  • 片持ちばりの最大曲げモーメントは固定端で M ＝ PL。荷重と長さが同じなら，断面によらない
  • 単純支持ばり・中央の集中荷重：反力は P/2 ずつ，最大曲げモーメントは中央で PL/4。最大たわみは PL3/(48EI)
  • 単純支持ばりで，全荷重 P を全長に一様に分けてかけると，最大曲げモーメントは PL/8
  • 単位を N と mm にそろえると，N/mm2 ＝ MPa で答えが出る

解き方

  • 応力は Z，たわみは I を見る
  • 寸法の何乗かを読み取る。分母にあるので「反比例」
  • 倍率の問題は，変える量ごとに「何乗か」を考え，倍率をかけ合わせる
  • 例：円形で直径を2倍にすると，応力は 1/23 ＝ 1/8，たわみは 1/24 ＝ 1/16
  • 例：長方形で高さを2倍にすると，応力は 1/22 ＝ 1/4，たわみは 1/23 ＝ 1/8
  • 例：集中荷重のたわみは L3/(bh3) に比例。長さを2倍にしてたわみを同じにするには，h3 を8倍，つまり h を2倍にする
  • 数値を求める問題は，単位をそろえ，反力 → 最大曲げモーメント → Z → σ ＝ M/Z の順に計算する

ひっかけ

  • 応力とたわみの乗数を逆にしない（応力が4乗，たわみが3乗とはしない）
  • 長方形の応力を h3 としない（h3 は I なので，たわみの方）
  • 太くすると応力が増える「比例」を選ばない（太くすると応力は減る）
  • たわみの L3（集中荷重）と L4（等分布荷重）を混ぜない
  • 片持ちばりの PL と，単純支持ばり・中央荷重の PL/4 を取りちがえない
このテーマの想定問題を解く

想定問題：1・2・3

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