円形断面片持ちばりの曲げ応力とたわみ

円形断面のはりで，直径を変えると最大曲げ応力と最大たわみがどう変わるかを問う問題です。

曲げ応力は断面係数 Z で，たわみは断面二次モーメント I で決まります。

円形断面では Z が直径の3乗，I が直径の4乗に比例するので，太くするとどちらも小さくなります。

• 最大曲げ応力 σ＝M÷Z。M は曲げモーメント（はりを曲げようとする力の大きさ）で，荷重と長さが同じなら直径に関係なく一定です
• 円形断面の Z＝πd³÷32（d は直径）。σ＝32M÷(πd³) となり，d の3乗で割るので直径の3乗に反比例します
• 最大たわみ δ＝wL⁴÷(8EI)。w は単位長さあたりの荷重，L は長さ，E はヤング率（材料のかたさ）です
• 円形断面の I＝πd⁴÷64。δ＝8wL⁴÷(Eπd⁴) となり，d の4乗で割るので直径の4乗に反比例します
• 例えば直径を2倍にすると，応力は1/8，たわみは1/16になります
• ア：3乗，イ：反比例，ウ：4乗，エ：反比例。答えは ア 3乗，イ 反比例，ウ 4乗，エ 反比例

④（比例）：太くするほど応力やたわみが増えることになり，直感とも合いません。太くすれば強くなるので反比例です。

• 円形断面は Z∝d³，I∝d⁴
• 曲げ応力は Z で決まる（σ＝M÷Z）ので直径の3乗に反比例，たわみは I で決まるので直径の4乗に反比例
• 片持ちばりに等分布荷重 w がかかる時，最大曲げモーメントは wL²÷2，最大たわみは wL⁴÷(8EI)