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基礎科目・情報・アルゴリズム

論理式とド・モルガン

よく出る高校

6問H23・H25・H28・H30・R2・R3

否定のついた論理式をド・モルガンの法則で変形したり、真理値表と同じ論理式を選んだりする問題が出ます。

よく出る形

  • 否定のついた論理式と同じ働きをする式を選ぶ
  • 入力の組合せごとの結果を並べた真理値表を見て，一致する論理式を選ぶ
  • ド・モルガンの変形と真理値表の2型が交互に出る。平成30と令和3は同じ式が出た

覚えること

  • 論理和 A＋B は「または」，論理積 A・B は「かつ」，¬A は「A でない」
  • ド・モルガンの法則：¬(A＋B) ＝ ¬A・¬B，¬(A・B) ＝ ¬A＋¬B。「¬ をかっこの中の1つずつに配って，＋と・を入れかえる」
  • 二重否定：¬¬A ＝ A（否定を2回行うと元に戻る）
  • A・¬A はいつでも 0，A＋¬A はいつでも 1
  • A と B がちがうときだけ 1 になる式（排他的論理和）は (A＋B)・(¬A＋¬B)，または A・¬B＋¬A・B
  • A と B が同じときに 1 になる式は (¬A＋B)・(A＋¬B)，または ¬A・¬B＋A・B
  • NAND（論理積の否定）：A と B が両方 1 のときだけ 0。NAND だけで，否定・論理積・論理和をつくれる（NOR も同じ）
  • 吸収の法則：A＋A・B ＝ A。また A＋¬A・B ＝ A＋B
  • 排他的論理和 ⊕ は，同じ値で2回行うと元に戻る：(A⊕B)⊕B ＝ A

解き方

  • 否定の式は，外側の ¬ から順にド・モルガンで外していく
  • 例：¬(¬A・¬B＋A・B) → ¬(¬A・¬B)・¬(A・B) → (A＋B)・(¬A＋¬B)
  • 真理値表の問題は，表で結果が 0 になる行を1つずつ選択肢に代入し，1 になってしまう式を消す
  • 表は1つの変数の 0 と 1 で上下に分けると形が見える（x＝0 のとき y と同じ，x＝1 のとき z と同じ，など）
  • 例：(x，y，z)＝(0，1，1) で結果が 0 なら，z だけで 1 になる「x・y＋z」は消せる
  • 「どんな値でも成り立つ」かは，A，B に 0 と 1 を入れた4通りを表にして確かめる

ひっかけ

  • X・¬X や X＋¬X の形の選択肢は，いつも 0 やいつも 1 になるので，たいてい誤り
  • ド・モルガンで ¬ を外すとき，＋と・を入れかえ忘れない
  • A＋¬A・B は A・B ではなく A＋B（吸収の法則と取り違えない）
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想定問題：1・2・3

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