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基礎科目・情報・アルゴリズム

浮動小数点と誤差

大学

4問H24・H27・H29・R1再

単精度浮動小数点数（符号1・指数8・仮数23ビット）への変換と、計算機の数で起きる誤差の種類が出ます。

よく出る形

  • 13.0 などの実数を，問題文の手順で「符号部・指数部・仮数部」の 0 と 1 の列に直す
  • 0.01 を100回足しても 1 にならない理由を選ぶ
  • 誤差の文章の正誤と，単精度の計算の2型。単精度は平成29と令和元再で同じ 13.0 が出た

覚えること

  • 浮動小数点数は，数を ±2α×(1＋x)（1以上2未満の数 × 2のべき乗）の形にして記録する
  • 単精度は 符号部1ビット（正が0，負が1），指数部8ビット（α＋127 を2進数にしたもの），仮数部23ビット（x を2進数の小数にしたもの）
  • 127 を足すのは，マイナスの指数も正の数で表すための決まり。指数部が 01111111（127）なら α＝0，それより小さければ α はマイナス
  • 2進数の小数：(0.1)2 ＝ 1/2，(0.01)2 ＝ 1/4，(0.001)2 ＝ 1/8，(0.0001)2 ＝ 1/16。(0.1)2 ＝ 0.5 や (0.01)2 ＝ 0.25 は有限の桁で表せる
  • 丸め誤差：決まった桁数に収めるため，はみ出た桁を切り捨てたり四捨五入したりして生じる誤差。10進数の 0.1 や 0.01 は2進数で割り切れないので，足し合わせると誤差がたまる
  • 桁落ち：ほぼ同じ大きさの数どうしを引くと，有効な桁が減ってしまうこと
  • 情報落ち：とても大きい数にとても小さい数を足すと，小さいほうが反映されないこと
  • オーバーフロー：結果が表せる範囲より大きくなること

解き方

  • 実数を 2 で割れるだけ割って 1 以上 2 未満にする。例：13 ÷ 23 ＝ 1.625 なので α＝3，x＝0.625
  • 符号部：正なら 0，負なら 1
  • 指数部：3＋127＝130＝128＋2 なので 10000010
  • 仮数部：0.625＝1/2＋1/8＝(0.101)2 なので 101 のあとに 0 が並ぶ
  • 列から実数を求める時は，指数部の値 − 127 で α を出し，仮数部から x を出して ±2α×(1＋x) を計算する
  • 確かめ：23×1.625＝13 になれば正解

ひっかけ

  • 指数部に α そのもの（3 なら 00000011）を入れたり，127 を足し忘れたりしない
  • 仮数部には「1.」の 1 は入れず，小数点より後ろだけを並べる
  • 符号部が 1 なら負の数。値を求めたあとに負の符号をつけ忘れない
  • 情報落ちで消えるのは小さいほうの数。「大きいほうの下の桁が失われる」は逆
このテーマの想定問題を解く

想定問題：1・2・3

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