線形計画法で最大利益を求める

原料と稼働時間の制約の中で，利益が最大になる生産量を求める線形計画法の問題です。

製品1を x kg，製品2を y kg つくるとして，制約の式と利益の式を立てます。

最大の利益は，制約の線どうしが交わる角（頂点）のどれかで出るので，頂点ごとに利益をくらべます。

• 制約：原料A x＋2y≦12，原料B 3x＋y≦15，時間 x＋y≦7，x≧0，y≧0。利益 Z＝300x＋200y（万円）
• 頂点1（y＝0）：原料Bから 3x≦15 で x≦5。(5，0) で Z＝300×5＝1,500
• 頂点2（原料Bと時間の交点）：3x＋y＝15 と x＋y＝7 を引き算して 2x＝8，x＝4，y＝3。原料Aは 4＋6＝10≦12 で守れます。Z＝1,200＋600＝1,800
• 頂点3（時間と原料Aの交点）：x＋y＝7 と x＋2y＝12 を引き算して y＝5，x＝2。原料Bは 6＋5＝11≦15 で守れます。Z＝600＋1,000＝1,600
• 頂点4（x＝0）：原料Aから 2y≦12 で y≦6。(0，6) で Z＝200×6＝1,200
• 最大は製品1を4kg，製品2を3kg の 1,800万円。答えは ④ 1,800万円

②（1,500万円）：利益の高い製品1だけを5kgつくった場合です。製品1だけに寄せると原料Bがすぐ上限になり，時間と原料Aが余ります。

③（1,600万円）：頂点 (2，5) の値で，1,800万円より小さいです。

⑤（1,920万円）：制約を守ったままでは届かない値です。

• 線形計画法は「制約の式をつくる → 頂点を出す → 頂点ごとに目的の値を計算してくらべる」の3ステップ
• 頂点は2本の制約の線の交点。残りの制約も守れているか確かめてから使う
• 利益の高い製品だけをつくるのが最大とは限らない