微分方程式と高階微分係数

f′ が f で書かれた式を順に微分して，x＝0 での2階・3階の微分係数を求める問題です。

与えられた式をそのまま x で微分すれば，f″，f‴ が順に出ます。

{f(x)}² の微分は合成関数の微分で 2f(x)f′(x)，2つの関数の積の微分は u′v＋uv′ です。

• 両辺を x で微分：f″(x)＝2f(x)f′(x)
• x＝0 を入れて f″(0)＝2×1×2＝4。f″(0)＝2 の ①②③ は外れます
• もう一度微分（積の微分）：f‴(x)＝2{f′(x)}²＋2f(x)f″(x)
• x＝0 を入れて f‴(0)＝2×2²＋2×1×4＝8＋8＝16。答えは ⑤ f″(0)＝4，f‴(0)＝16

③（f″(0)＝2）：f′(0)＝2 を f″(0) と取りちがえた値です。1回目の微分の値で止まらないようにします。

④（f‴(0)＝12）：f″(0)＝4 までは合っています。積の微分で出る2つの項（8 と 8）の両方を足します。

• f′ が f の式で与えられたら，その式を微分すると f″ が f と f′ で表せる。順に微分して x の値を入れる
• {f(x)}² の微分は 2f(x)f′(x)（合成関数の微分）
• 積の微分：(uv)′＝u′v＋uv′