四分円板の重心

一様な四分円の板の重心の位置を，積分で求める問題です。

重心の x 座標は x_G＝(∫x dA)／A です（A は面積，dA は小さな面積）。面密度 ρ は分子と分母で消えます。

円の形なので，極座標（半径 r，角度 θ）で x＝r cosθ，dA＝r dr dθ とします。

• 分子：∫x dA＝∫₀^π/2∫₀^a r cosθ・r dr dθ
• r の積分：∫₀^a r² dr＝a³/3
• θ の積分：∫₀^π/2 cosθ dθ＝1

• 直線 y＝x について対称なので y_G も同じ。答えは ⑤

④（3a/(4π)）：分子と分母を取りちがえた形です。4a/(3π)≒0.42a，3a/(4π)≒0.24a なので，だいぶ原点寄りになります。

②（a/2）：正方形の板の重心です。四分円は外側が欠けているので，重心はもっと原点に近づきます。

③（a/√2）：円弧の上の点で，板のふちそのものです。

• 半円の板の重心は，中心から 4a/(3π)（約 0.42a）
• 四分円の板の重心は (4a/(3π), 4a/(3π))
• 重心は ∫x dA／A。一様な板なら密度は消える