応力と強度の破壊確率

強度と応力がばらつくとき，壊れる確率の大小を信頼性指標で比べる問題です。

Z＝R－S は強度の余裕で，独立な正規分布の差も正規分布になります。

平均の差をばらつきで割った β（信頼性指標）が大きいほど，Z が 0 を下回る確率は小さくなります。

• Z の平均は μ_R－μ_S，Z の標準偏差は √(σ_R²＋σ_S²)（ばらつきは2乗して足してから√をとる）
• β＝（Z の平均）÷（Z の標準偏差）を4ケースで計算する

ア：平均 14－10＝4，標準偏差 √(1＋8)＝3，β＝4÷3≒1.33

イ：平均 13－10＝3，標準偏差 √(8＋1)＝3，β＝3÷3＝1

ウ：平均 12－9＝3，標準偏差 √(3＋1)＝2，β＝3÷2＝1.5

エ：平均 12－11＝1，標準偏差 √(1＋1)≒1.41，β＝1÷1.41≒0.71

• β の大きい順（壊れる確率の小さい順）は ウ→ア→イ→エ。答えは ④ ウ→ア→イ→エ

②③⑤（アが先頭）：アは平均の余裕が 4 でいちばん大きいですが，応力のばらつきも大きいので，β ではウに負けます。平均の差だけで並べると引っかかります。

• 独立な正規分布の差 Z＝R－S も正規分布。平均は差，分散（標準偏差の2乗）は和
• 信頼性指標 β＝（平均の差）÷ √（標準偏差の2乗の和）。β が大きいほど壊れにくい
• 平均の余裕が大きくても，ばらつきが大きいと壊れる確率は下がらない