線形計画法と利益の感度

原料の上限の中で利益が最大になる生産量と，製品1の利益が変わっても同じ生産量のままでよい範囲を求める問題です。

線形計画法では，最大の利益は条件の線が作る多角形の頂点で出ます。

利益の線の傾きが，その頂点で交わる2本の条件の線の傾きの間にある間は，同じ頂点が最適のままです。

• 条件：原料A 3x₁＋2x₂≦24，原料B x₁＋3x₂≦15，利益 z＝2x₁＋3x₂
• 頂点：(0, 0)，Aの線と横軸の交点 (8, 0)，Bの線と縦軸の交点 (0, 5)，AとBの線の交点
• AとBの交点：Bの式を3倍して 3x₁＋9x₂＝45，Aの式を引くと 7x₂＝21 → x₂＝3，x₁＝15－9＝6 → (6, 3)
• 各頂点の利益：(8, 0) は 2×8＝16，(0, 5) は 3×5＝15，(6, 3) は 2×6＋3×3＝21。最大は (6, 3)
• 製品1の利益を c＝2＋Δc とする。z＝c x₁＋3x₂ の係数の比 c÷3 が，Bの線の比 1÷3 とAの線の比 3÷2 の間にあれば，(6, 3) が最適のまま
• 1/3≦c/3≦3/2 → 1≦c≦4.5 → 1≦2＋Δc≦4.5 → －1≦Δc≦5/2。答えは ⑤ x₁＝6，x₂＝3，－1≦Δc≦5/2

②（Δc≦－1，5/2≦Δc）：生産量は合っていますが，範囲が逆です。この範囲では利益の線の傾きが条件の線を越えて，最適な頂点が (0, 5) や (8, 0) に移ります。

③（－1≦Δc≦1）：上の値が 5/2 でなく 1 になっています。Δc＝2 でも c＝4 で 4.5 以下なので，まだ (6, 3) が最適です。

• 線形計画法の最適解は，条件の線が作る多角形の頂点に出る。頂点ごとに利益を計算して比べる
• 感度分析：利益の係数の比が，最適な頂点で交わる2本の条件の係数の比の間にある間は，最適解は変わらない
• 頂点は，2本の条件の式を連立して求める