3つの不等式（相加相乗・凸関数）

相加平均と相乗平均，sinθ/θ の大きさ，下に凸な関数の性質という3つの不等式を知っているかを問う問題です。

3つとも，等号になる場合があるかどうかまで考えて，記号を選びます。

ア：0以上の数では「相乗平均 ≦ 相加平均」が成り立ちます。たとえば 1 と 4 なら，相乗平均は √4＝2，相加平均は 2.5 です。数がみな等しい時は等号になるので，「＜」ではなく「≦」です。

イ：y＝sinθ のグラフは 0 から π/2 の間で上に凸なので，原点と点 (π/2，1) を結ぶ直線 y＝(2/π)θ より上にあります。つまり sinθ ≧ (2/π)θ で，θ で割ると sinθ/θ ≧ 2/π です。θ＝π/2 の時に等号になるので「≧」です。

ウ：f″(x)＞0 はグラフが下に凸（おわんの形）という意味です。下に凸なら，2点を結ぶ線分のまん中の高さ（右辺）は，グラフのまん中の高さ（左辺）より上にあります。2点は異なるので等号にはならず「＜」です。答えは ア ≦，イ ≧，ウ ＜

• 0以上の数では，相乗平均 ≦ 相加平均。等号は数がみな等しい時
• 0＜θ≦π/2 で sinθ/θ ≧ 2/π（θ＝π/2 で等号）
• f″(x)＞0 は下に凸。下に凸なら，まん中の値 ＜ 両端の値の平均
• 等号になる場合があるなら「≦」，ないなら「＜」を選ぶ