ハミング距離と誤り訂正

ハミング距離の数え方と，7ビットのハミング符号で1ビットの誤りを直して送信ビット列を求める問題です。

ハミング距離は，同じ長さの2つのビット列でちがっている位置の数です。

誤りを直すには，受信した X1〜X4 から検査ビット X5〜X7 を計算し直し，受信した X5〜X7 と比べます。合わない検査ビットの組合せで，誤った位置が1つに決まります。

ア：「1110001」と「0001110」を1けたずつ比べると，1と0，1と0，1と0，0と1，0と1，0と1，1と0 で，7けたともちがいます。ア＝7

イ：受信「1001010」なので X1＝1，X2＝0，X3＝0，X4＝1，受信した X5＝0，X6＝1，X7＝0

• 計算し直すと X5 ＝ 0＋0＋1 ＝ 1，X6 ＝ 1＋0＋1 ＝ 2 → 0，X7 ＝ 1＋0＋1 ＝ 2 → 0
• 計算した (1，0，0) と受信した (0，1，0) を比べると，X5 と X6 が合わず，X7 は合っています
• X5 と X6 の両方の式に入り，X7 の式に入らないのは X3 です。X3 が誤っています
• X3 を 0 → 1 に直すと「1011010」。確かめ：X1〜X4 ＝ 1，0，1，1 から X5 ＝ 0，X6 ＝ 1，X7 ＝ 0 で，受信した検査ビットと一致します。答えは ア 7，イ 「1011010」

①・④（イが「1001010」）：受信したままの列です。検査ビットを計算し直すと合わないので，誤りが残っています。

• ハミング距離：同じ長さのビット列で，ちがっている位置の数
• mod 2 は2で割った余り。1の個数が偶数なら 0，奇数なら 1
• ハミング符号の誤り訂正：検査ビットを計算し直し，合わない検査ビットの組合せから誤った1ビットの位置を決める
• X1 は X6・X7，X2 は X5・X7，X3 は X5・X6，X4 は X5・X6・X7 の式に入る